三角函数转换关系

视轴-牛顿第四定律

同角三角函数的基本关系式

诱导公式

sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα

两角和与差的三角函数公式万能公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβ

tan（α＋β）＝——————

1－tanα·tanβ

tanα－tanβ

tan（α－β）＝——————

1＋tanα·tanβ

2tan(α/2)

sinα＝——————

1＋tan2(α/2)

1－tan2(α/2)

cosα＝——————

1＋tan2(α/2)

2tan(α/2)

tanα＝——————

1－tan2(α/2)

半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－

2sin2α

2tanα

tan2α＝—————

1－tan2α

sin3α＝3sinα－4sin3α

cos3α＝4cos3α－3cosα

3tanα－tan3α

tan3α＝——————

1－3tan2α

三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式

α＋βα－β

sinα＋sinβ＝2sin—－－·cos—－—

22

α＋βα－β

sinα－sinβ＝2cos—－－·sin—－—

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

22

α＋βα－β

cosα＋cosβ＝2cos—－－·cos—－—

22

α＋βα－β

cosα－cosβ＝－2sin—－－·sin—－—

22

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

化asinα±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）

直角三角定义

它有六种基本函数(初等基本表示)：

三角函数数值表

（斜边为r，对边为y，邻边为x。）

在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点

的坐标为（x，y）有

正弦函数sinθ=y/r正弦（sin）:角α的对边比斜边

余弦函数cosθ=x/r余弦（cos）:角α的邻边比斜边

正切函数tanθ=y/x正切（tan）:角α的对边比邻边

余切函数cotθ=x/y余切（cot）:角α的邻边比对边

正割函数secθ=r/x正割（sec）:角α的斜边比邻边

余割函数cscθ=r/y余割（csc）:角α的斜边比对边

以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：

正矢函数versinθ=1-cosθ

余矢函数coversθ=1-sinθ

sinα、cosα、tanα的定义域：

sinα定义域无穷，值域【-1，+1】

cosα定义域无穷，值域【-1，+1】

tanα的定义域（-π/2+kπ，π/2+kπ），k属于整数，值域无穷

单位圆定义

六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计

算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角

函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在0和π/2弧度之间的角。它也提

供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，单位圆的等式是：

x^2+y^2=1

图像中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量

是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。这个交点

的x和y坐标分别等于cosθ和sinθ。图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且

长度为1，所以有sinθ=y/1和cosθ=x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的

长度，但保持斜边等于1的一种查看无限个三角形的方式。

对于大于2π或小于−2π的角度，可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦

和余弦变成了周期为2π的周期函数：

对于任何角度θ和任何整数k。

周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”（primitiveperiod）。正弦、余弦、

正割或余割的基本周期是全圆，也就是2π弧度或360度；正切或余切的基本周期是半圆，

也就是π弧度或180度。上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的，其他四个三角

函数可以定义为：

在正切函数的图像中，在角kπ附近变化缓慢，而在接近角(k+1/2)π的时候变化迅

速。正切函数的图像在θ=(k+1/2)π有垂直渐近线。这是因为在θ从左侧接进(k+1/2)π

的时候函数接近正无穷，而从右侧接近(k+1/2)π的时候函数接近负无穷。

另一方面，所有基本三角函数都可依据中心为O的单位圆来定义，类似于历史上使用

的几何定义。特别

是，对于这个圆的弦AB，这里的θ是对向角的一半，sin(θ)是AC（半弦），这是印度的

Aryabhata（AD476–550）介入的定义。cos(θ)是水平距离OC，versin（θ）=1−cos(θ)

是CD。tan(θ)是通过A的切线的线段AE的长度，所以这个函数才叫正切。cot(θ)是另一

个切线段AF。sec(θ)=OE和csc(θ)=OF是割线（与圆相交于两点）的线段，所以可以

看作OA沿着A的切线分别向水平和垂直轴的投影。DE是exsec（θ）=sec(θ)−1（正

割在圆外的部分）。通过这些构造，容易看出正割和正切函数在θ接近π/2（90度）的

时候发散，而余割和余切在θ接近零的时候发散。

同角三角函数关系式

·平方关系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1

cos^2(a)=(1+cos2a)/2

tan^2(α)+1=sec^2(α)

sin^2(a)=(1-cos2a)/2

cot^2(α)+1=csc^2(α)

·积的关系：

sinα=tanα×cosα

cosα=cotα×sinα

tanα=sinα×secα

cotα=cosα×cscα

secα=tanα×cscα

cscα=secα×cotα

·倒数关系：

tanα·cotα＝1

sinα·cscα＝1

cosα·secα＝1

·商的关系：

sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα

直角三角形ABC中,

角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,

余弦等于角A的邻边比斜边

正切等于对边比邻边,

·对称性

180度-α的终边和α的终边关于y轴对称。

-α的终边和α的终边关于x轴对称。

180度+α的终边和α的终边关于原点对称。

180度-α的终边关于y=x对称。

·诱导公式

公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ＋α）＝sinα

cos（2kπ＋α）＝cosα

tan（kπ＋α）＝tanα

cot（kπ＋α）＝cotα

公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin（π＋α）＝－sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanα

cot（π＋α）＝cotα

公式三：

任意角α与-α的三角函数值之间的关系：

sin（－α）＝－sinα

cos（－α）＝cosα

tan（－α）＝－tanα

cot（－α）＝－cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（2π－α）＝－sinα

cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα

cot（2π－α）＝－cotα

公式六：

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π/2＋α）＝cosα

cos（π/2＋α）＝－sinα

tan（π/2＋α）＝－cotα

cot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π/2－α）＝cosα

cos（π/2－α）＝sinα

tan（π/2－α）＝cotα

cot（π/2－α）＝tanα

sin（3π/2＋α）＝－cosα

cos（3π/2＋α）＝sinα

tan（3π/2＋α）＝－cotα

cot（3π/2＋α）＝－tanα

sin（3π/2－α）＝－cosα

cos（3π/2－α）＝－sinα

tan（3π/2－α）＝cotα

cot（3π/2－α）＝tanα

(以上k∈Z)

补充：6×9＝54种诱导公式的表格以及推导方法（定名法则和定号法则）

f(β)→

f

(β)＝↘

β↓

sin

β

cos

β

tan

β

cot

β

sec

β

csc

β

360k+αsinαcosαtanαcotαsecαcscα

90°-αcosαsinαcotαtanαcscαsecα

90°+αcosα-sinα-cotα-tanα-cscαsecα

180°-αsinα-cosα-tanα-cotα-secαcscα

180°+α-sinα-cosαtanαcotα-secα-cscα

270°-α-cosα-sinαcotαtanα-cscα-secα

270°+α-cosαsinα-cotα-tanαcscα-secα

360°-α-sinαcosα-tanα-cotαsecα-cscα

﹣α-sinαcosα-tanα-cotαsecα-cscα

定名法则

90°的奇数倍+α的三角函数，其绝对值与α三角函数的绝对值互为余函数。90°的偶数

倍+α的三角函数与α的三角函数绝对值相同。也就是“奇余偶同，奇变偶不变”

定号法则

将α看做锐角（注意是“看做”），按所得的角的象限，取三角函数的符号。也就是“象

限定号，符号看象限”.（或为“奇变偶不变，符号看象限”

2在Kπ/中如果K为奇数时函数名不变，若为偶数时函数名变为相反的函数名。正负号

看原函数中α所在象限的正负号。关于正负号有可口诀；一全二正弦，三切四余弦，即第

一象限全部为正，第二象限角正弦为正，第三为正切为正，第四象限余弦为正。）

比如:90°+α。定名：90°是90°的奇数倍，所以应取余函数；定号：将α看做锐角，那

么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦为正，余弦为负。所以sin(90°+α)=cosα,

cos(90°+α)＝-sinα这个非常神奇，屡试不爽~

还有一个口诀“纵变横不变，符号看象限”，例如：sin(90°+α)，90°的终边在纵轴上，所

以函数名变为相反的函数名，即cos，将α看做锐角，那么90°+α是第二象限角，第二象

限角的正弦为正，所以sin(90°+α)=cosα

·两角和与差的三角函数

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

·和差化积公式：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

·积化和差公式：

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

·倍角公式：

sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2

tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α)

·三倍角公式：

sin(3α)=3sinα-4sin^3α=4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)

cos(3α)=4cos^3α-3cosα=4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)

tan(3α)=(3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α)=tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)

·半角公式：

sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)

cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

·辅助角公式：

Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin(α+arctan(B/A))，其中

sint=B/√(A^2+B^2)

cost=A/√(A^2+B^2)

tant=B/A

Asinα-Bcosα=√(A^2+B^2)cos(α-t)，tant=A/B

·万能公式

sin(a)=(2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))

cos(a)=(1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))

tan(a)=(2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))

·降幂公式

sin^2α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos^2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

tan^2α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

·万能公式：

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2;(α/2)]

cosα=[1-tan^2;(α/2)]/[1+tan^2;(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2;(α/2)]

·三角和的三角函数：

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

·其它公式

a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c)[其中，tan(c)=b/a]

a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c)[其中，tan(c)=a/b]

1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^21-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2其他非重点三角函数

csc(a)=1/sin(a)sec(a)=1/cos(a)

cos30=sin60

sin30=cos60

·推导公式

tanα+cotα=2/sin2α

tanα-cotα=-2cot2α

1+cos2α=2cos^2α

1-cos2α=2sin^2α

1+sinα=[sin(α/2)+cos(α/2)]^2

·其他[及证明]：

sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0

以及

sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

cosx+cos2x+...+cosnx=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx

证明：

左边=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx

=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx（积

化和差）

=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右边

等式得证

sinx+sin2x+...+sinnx=-[cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx

证明:

左边=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx)

=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx)

=-[cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右边

等式得证

三倍角公式推导

sin3a

=sin(2a+a)

=sin2acosa+cos2asina

=2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina

=3sina-4sin^3a

cos3a

=cos(2a+a)

=cos2acosa-sin2asina

=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa

=4cos^3a-3cosa

sin3a=3sina-4sin^3a

=4sina(3/4-sin^2a)

=4sina[(√3/2)^2-sin^2a]

=4sina(sin^260°-sin^2a)

=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°+a)/2]

=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

cos3a=4cos^3a-3cosa

=4cosa(cos^2a-3/4)

=4cosa[cos^2a-(√3/2)^2]

=4cosa(cos^2a-cos^230°)

=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)

=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}

=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)

=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]

=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]

=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)

上述两式相比可得

tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)

幂级数

c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn(n=0..∞)

c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n(n=0..∞)

它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中c0,c1,c2,.....及a都是常数,这种级数称为

幂级数.

泰勒展开式(幂级数展开法):

f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+...

实用幂级数：

ex=1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!+...

ln(1+x)=x-x2/3+x3/3-...(-1)k-1*xk/k+...(|x|<1)

sinx=x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+...(-∞

cosx=1-x2/2!+x4/4!-...(-1)k*x2k/(2k)!+...(-∞

arcsinx=x+1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+...(|x|<1)

arccosx=π-(x+1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+...)(|x|<1)

arctanx=x-x^3/3+x^5/5-...(x≤1)

sinhx=x+x3/3!+x5/5!+...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+...(-∞

coshx=1+x2/2!+x4/4!+...(-1)k*x2k/(2k)!+...(-∞

arcsinhx=x-1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5-...(|x|<1)

arctanhx=x+x^3/3+x^5/5+...(|x|<1)

在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图像结合

的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。

三角形与三角函数

1、正弦定理：在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R．(其中R为外接圆的半径)

2、第一余弦定理：三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积的和，

即a=ccosB+bcosC

3、第二余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方之和减去这两边与它

们夹角的余弦的积的2倍，即a^2=b^2+c^2-2bc·cosA

4、正切定理(napier比拟)：三角形中任意两边差和的比值等于对应角半角差和的正切

比值，即（a-b）/(a+b)=tan[(A-B)/2]/tan[(A+B)/2]=tan[(A-B)/2]/cot(C/2)

5、三角形中的恒等式：

对于任意非直角三角形中,如三角形ABC,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

证明:

已知(A+B)=(π-C)

所以tan(A+B)=tan(π-C)

则(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)

整理可得

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

类似地,我们同样也可以求证:当α+β+γ=nπ(n∈Z)时，总有

tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ

三角函数图像

三角函数图像：

定义域和值域

sin(x),cos(x)的定义域为R,值域为〔-1,1〕

tan(x)的定义域为x不等于π/2+kπ,值域为R

cot(x)的定义域为x不等于kπ,值域为R

初等三角函数导数

y=sinx---y'=cosx

y=cosx---y'=-sinx

y=tanx---y'=1/cos^2x=sec^2x

y=cotx---y'=-1/sin^2x=-csc^2x

y=secx---y'=secxtanx

y=cscx---y'=-cscxcotx

y=arcsinx---y'=1/√(1-x^2)

y=arccosx---y'=-1/√(1-x^2)

y=arctanx---y'=1/(1+x^2)

y=arccotx---y'=-1/(1+x^2)

倍半角规律

如果角a的余弦值为1/2，那么a/2的余弦值为√3/2

反三角函数

三角函数的反函数，是多值函数。它们是反正弦Arcsinx，反余弦Arccosx，反正切

Arctanx，反余切Arccotx等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。

为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，将y为反正弦函

数的主值，记为y=arcsinx；相应地，反余弦函数y=arccosx的主值限在0≤y≤π；反正切

函数y=arctanx的主值限在-π/2

反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要

求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由欧拉提出，并且首先使用了arc+

函数名的形式表示反三角函数，而不是f-1(x).

反三角函数主要是三个：

y=arcsin(x)，定义域[-1,1]，值域[-π/2,π/2]，图象用红色线条；

y=arccos(x)，定义域[-1,1]，值域[0,π]，图象用兰色线条；

y=arctan(x)，定义域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)，图象用绿色线条；

sinarcsin(x)=x,定义域[-1,1],值域【-π/2,π/2】

证明方法如下：设arcsin(x)=y,则sin(y)=x,将这两个式子代如上式即可得

为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，将y为反正弦函

数的主值，记为y=arcsinx；相应地，反余弦函数y=arccosx的主值限在0≤y≤π；反正切

函数y=arctanx的主值限在-π/2

反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要

求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由欧拉提出，并且首先使用了arc+

函数名的形式表示反三角函数，而不是f-1(x).

（1）正弦函数y=sinx在[-π/2,π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。arcsinx表示一个

正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2,π/2]区间内。

（2）余弦函数y=cosx在[0,π]上的反函数，叫做反余弦函数。arccosx表示一个余弦

值为x的角，该角的范围在[0,π]区间内。

（3）正切函数y=tanx在(-π/2,π/2)上的反函数，叫做反正切函数。arctanx表示一个

正切值为x的角，该角的范围在(-π/2,π/2)区间内。

反三角函数主要是三个：

y＝arcsin(x)，定义域[-1,1]，值域[-π/2,π/2]图象用红色线条；

y=arccos(x)，定义域[-1,1]，值域[0,π]，图象用蓝色线条；

y=arctan(x)，定义域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)，图象用绿色线条；

sin(arcsinx)=x,定义域[-1,1],值域[-1,1]arcsin(-x)=-arcsinx

证明方法如下：设arcsin(x)=y,则sin(y)=x,将这两个式子代入上式即可得

其他几个用类似方法可得

cos(arccosx)=x,arccos(-x)=π-arccosx

tan(arctanx)=x,arctan(-x)=-arctanx

反三角函数其他公式

arcsin(-x)=-arcsinx

arccos(-x)=π－arccosx

arctan(-x)=-arctanx

arccot(-x)=π－arccotx

arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx

sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)

当x∈[—π/2，π/2]时，有arcsin(sinx)=x

当x∈[0,π],arccos(cosx)=x

x∈(—π/2，π/2),arctan(tanx)=x

x∈(0，π),arccot(cotx)=x

x〉0,arctanx=π/2-arctan1/x,arccotx类似

若(arctanx+arctany)∈(—π/2，π/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)

同角三角函数关系式

平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1cos^2(a)=(1+cos2a)/2

tan^2(α)+1=sec^2(α)sin^2(a)=(1-cos2a)/2cot^2(α)+1=csc^2(α)

·积的关系：sinα=tanα×cosαcosα=cotα×sinαtanα=sinα×secα

cotα=cosα×cscαsecα=tanα×cscαcscα=secα×cotα

·倒数关系：tanα·cotα＝1sinα·cscα＝1cosα·secα＝1

·商的关系：sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secα

三角函数转换关系

视轴-牛顿第四定律

同角三角函数的基本关系式

诱导公式

sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα

两角和与差的三角函数公式万能公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβ

tan（α＋β）＝——————

1－tanα·tanβ

tanα－tanβ

tan（α－β）＝——————

1＋tanα·tanβ

2tan(α/2)

sinα＝——————

1＋tan2(α/2)

1－tan2(α/2)

cosα＝——————

1＋tan2(α/2)

2tan(α/2)

tanα＝——————

1－tan2(α/2)

半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－

2sin2α

2tanα

tan2α＝—————

1－tan2α

sin3α＝3sinα－4sin3α

cos3α＝4cos3α－3cosα

3tanα－tan3α

tan3α＝——————

1－3tan2α

三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式

α＋βα－β

sinα＋sinβ＝2sin—－－·cos—－—

22

α＋βα－β

sinα－sinβ＝2cos—－－·sin—－—

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

22

α＋βα－β

cosα＋cosβ＝2cos—－－·cos—－—

22

α＋βα－β

cosα－cosβ＝－2sin—－－·sin—－—

22

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

化asinα±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）

直角三角定义

它有六种基本函数(初等基本表示)：

三角函数数值表

（斜边为r，对边为y，邻边为x。）

在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点

的坐标为（x，y）有

正弦函数sinθ=y/r正弦（sin）:角α的对边比斜边

余弦函数cosθ=x/r余弦（cos）:角α的邻边比斜边

正切函数tanθ=y/x正切（tan）:角α的对边比邻边

余切函数cotθ=x/y余切（cot）:角α的邻边比对边

正割函数secθ=r/x正割（sec）:角α的斜边比邻边

余割函数cscθ=r/y余割（csc）:角α的斜边比对边

以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：

正矢函数versinθ=1-cosθ

余矢函数coversθ=1-sinθ

sinα、cosα、tanα的定义域：

sinα定义域无穷，值域【-1，+1】

cosα定义域无穷，值域【-1，+1】

tanα的定义域（-π/2+kπ，π/2+kπ），k属于整数，值域无穷

单位圆定义

六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计

算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角

函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在0和π/2弧度之间的角。它也提

供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，单位圆的等式是：

x^2+y^2=1

图像中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量

是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。这个交点

的x和y坐标分别等于cosθ和sinθ。图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且

长度为1，所以有sinθ=y/1和cosθ=x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的

长度，但保持斜边等于1的一种查看无限个三角形的方式。

对于大于2π或小于−2π的角度，可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦

和余弦变成了周期为2π的周期函数：

对于任何角度θ和任何整数k。

周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”（primitiveperiod）。正弦、余弦、

正割或余割的基本周期是全圆，也就是2π弧度或360度；正切或余切的基本周期是半圆，

也就是π弧度或180度。上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的，其他四个三角

函数可以定义为：

在正切函数的图像中，在角kπ附近变化缓慢，而在接近角(k+1/2)π的时候变化迅

速。正切函数的图像在θ=(k+1/2)π有垂直渐近线。这是因为在θ从左侧接进(k+1/2)π

的时候函数接近正无穷，而从右侧接近(k+1/2)π的时候函数接近负无穷。

另一方面，所有基本三角函数都可依据中心为O的单位圆来定义，类似于历史上使用

的几何定义。特别

是，对于这个圆的弦AB，这里的θ是对向角的一半，sin(θ)是AC（半弦），这是印度的

Aryabhata（AD476–550）介入的定义。cos(θ)是水平距离OC，versin（θ）=1−cos(θ)

是CD。tan(θ)是通过A的切线的线段AE的长度，所以这个函数才叫正切。cot(θ)是另一

个切线段AF。sec(θ)=OE和csc(θ)=OF是割线（与圆相交于两点）的线段，所以可以

看作OA沿着A的切线分别向水平和垂直轴的投影。DE是exsec（θ）=sec(θ)−1（正

割在圆外的部分）。通过这些构造，容易看出正割和正切函数在θ接近π/2（90度）的

时候发散，而余割和余切在θ接近零的时候发散。

同角三角函数关系式

·平方关系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1

cos^2(a)=(1+cos2a)/2

tan^2(α)+1=sec^2(α)

sin^2(a)=(1-cos2a)/2

cot^2(α)+1=csc^2(α)

·积的关系：

sinα=tanα×cosα

cosα=cotα×sinα

tanα=sinα×secα

cotα=cosα×cscα

secα=tanα×cscα

cscα=secα×cotα

·倒数关系：

tanα·cotα＝1

sinα·cscα＝1

cosα·secα＝1

·商的关系：

sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα

直角三角形ABC中,

角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,

余弦等于角A的邻边比斜边

正切等于对边比邻边,

·对称性

180度-α的终边和α的终边关于y轴对称。

-α的终边和α的终边关于x轴对称。

180度+α的终边和α的终边关于原点对称。

180度-α的终边关于y=x对称。

·诱导公式

公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ＋α）＝sinα

cos（2kπ＋α）＝cosα

tan（kπ＋α）＝tanα

cot（kπ＋α）＝cotα

公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin（π＋α）＝－sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanα

cot（π＋α）＝cotα

公式三：

任意角α与-α的三角函数值之间的关系：

sin（－α）＝－sinα

cos（－α）＝cosα

tan（－α）＝－tanα

cot（－α）＝－cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（2π－α）＝－sinα

cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα

cot（2π－α）＝－cotα

公式六：

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π/2＋α）＝cosα

cos（π/2＋α）＝－sinα

tan（π/2＋α）＝－cotα

cot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π/2－α）＝cosα

cos（π/2－α）＝sinα

tan（π/2－α）＝cotα

cot（π/2－α）＝tanα

sin（3π/2＋α）＝－cosα

cos（3π/2＋α）＝sinα

tan（3π/2＋α）＝－cotα

cot（3π/2＋α）＝－tanα

sin（3π/2－α）＝－cosα

cos（3π/2－α）＝－sinα

tan（3π/2－α）＝cotα

cot（3π/2－α）＝tanα

(以上k∈Z)

补充：6×9＝54种诱导公式的表格以及推导方法（定名法则和定号法则）

f(β)→

f

(β)＝↘

β↓

sin

β

cos

β

tan

β

cot

β

sec

β

csc

β

360k+αsinαcosαtanαcotαsecαcscα

90°-αcosαsinαcotαtanαcscαsecα

90°+αcosα-sinα-cotα-tanα-cscαsecα

180°-αsinα-cosα-tanα-cotα-secαcscα

180°+α-sinα-cosαtanαcotα-secα-cscα

270°-α-cosα-sinαcotαtanα-cscα-secα

270°+α-cosαsinα-cotα-tanαcscα-secα

360°-α-sinαcosα-tanα-cotαsecα-cscα

﹣α-sinαcosα-tanα-cotαsecα-cscα

定名法则

90°的奇数倍+α的三角函数，其绝对值与α三角函数的绝对值互为余函数。90°的偶数

倍+α的三角函数与α的三角函数绝对值相同。也就是“奇余偶同，奇变偶不变”

定号法则

将α看做锐角（注意是“看做”），按所得的角的象限，取三角函数的符号。也就是“象

限定号，符号看象限”.（或为“奇变偶不变，符号看象限”

2在Kπ/中如果K为奇数时函数名不变，若为偶数时函数名变为相反的函数名。正负号

看原函数中α所在象限的正负号。关于正负号有可口诀；一全二正弦，三切四余弦，即第

一象限全部为正，第二象限角正弦为正，第三为正切为正，第四象限余弦为正。）

比如:90°+α。定名：90°是90°的奇数倍，所以应取余函数；定号：将α看做锐角，那

么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦为正，余弦为负。所以sin(90°+α)=cosα,

cos(90°+α)＝-sinα这个非常神奇，屡试不爽~

还有一个口诀“纵变横不变，符号看象限”，例如：sin(90°+α)，90°的终边在纵轴上，所

以函数名变为相反的函数名，即cos，将α看做锐角，那么90°+α是第二象限角，第二象

限角的正弦为正，所以sin(90°+α)=cosα

·两角和与差的三角函数

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

·和差化积公式：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

·积化和差公式：

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

·倍角公式：

sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2

tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α)

·三倍角公式：

sin(3α)=3sinα-4sin^3α=4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)

cos(3α)=4cos^3α-3cosα=4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)

tan(3α)=(3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α)=tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)

·半角公式：

sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)

cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

·辅助角公式：

Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin(α+arctan(B/A))，其中

sint=B/√(A^2+B^2)

cost=A/√(A^2+B^2)

tant=B/A

Asinα-Bcosα=√(A^2+B^2)cos(α-t)，tant=A/B

·万能公式

sin(a)=(2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))

cos(a)=(1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))

tan(a)=(2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))

·降幂公式

sin^2α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos^2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

tan^2α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

·万能公式：

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2;(α/2)]

cosα=[1-tan^2;(α/2)]/[1+tan^2;(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2;(α/2)]

·三角和的三角函数：

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

·其它公式

a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c)[其中，tan(c)=b/a]

a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c)[其中，tan(c)=a/b]

1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^21-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2其他非重点三角函数

csc(a)=1/sin(a)sec(a)=1/cos(a)

cos30=sin60

sin30=cos60

·推导公式

tanα+cotα=2/sin2α

tanα-cotα=-2cot2α

1+cos2α=2cos^2α

1-cos2α=2sin^2α

1+sinα=[sin(α/2)+cos(α/2)]^2

·其他[及证明]：

sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0

以及

sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

cosx+cos2x+...+cosnx=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx

证明：

左边=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx

=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx（积

化和差）

=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右边

等式得证

sinx+sin2x+...+sinnx=-[cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx

证明:

左边=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx)

=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx)

=-[cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右边

等式得证

三倍角公式推导

sin3a

=sin(2a+a)

=sin2acosa+cos2asina

=2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina

=3sina-4sin^3a

cos3a

=cos(2a+a)

=cos2acosa-sin2asina

=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa

=4cos^3a-3cosa

sin3a=3sina-4sin^3a

=4sina(3/4-sin^2a)

=4sina[(√3/2)^2-sin^2a]

=4sina(sin^260°-sin^2a)

=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°+a)/2]

=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

cos3a=4cos^3a-3cosa

=4cosa(cos^2a-3/4)

=4cosa[cos^2a-(√3/2)^2]

=4cosa(cos^2a-cos^230°)

=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)

=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}

=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)

=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]

=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]

=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)

上述两式相比可得

tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)

幂级数

c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn(n=0..∞)

c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n(n=0..∞)

它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中c0,c1,c2,.....及a都是常数,这种级数称为

幂级数.

泰勒展开式(幂级数展开法):

f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+...

实用幂级数：

ex=1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!+...

ln(1+x)=x-x2/3+x3/3-...(-1)k-1*xk/k+...(|x|<1)

sinx=x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+...(-∞

cosx=1-x2/2!+x4/4!-...(-1)k*x2k/(2k)!+...(-∞

arcsinx=x+1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+...(|x|<1)

arccosx=π-(x+1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+...)(|x|<1)

arctanx=x-x^3/3+x^5/5-...(x≤1)

sinhx=x+x3/3!+x5/5!+...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+...(-∞

coshx=1+x2/2!+x4/4!+...(-1)k*x2k/(2k)!+...(-∞

arcsinhx=x-1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5-...(|x|<1)

arctanhx=x+x^3/3+x^5/5+...(|x|<1)

在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图像结合

的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。

三角形与三角函数

1、正弦定理：在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R．(其中R为外接圆的半径)

2、第一余弦定理：三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积的和，

即a=ccosB+bcosC

3、第二余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方之和减去这两边与它

们夹角的余弦的积的2倍，即a^2=b^2+c^2-2bc·cosA

4、正切定理(napier比拟)：三角形中任意两边差和的比值等于对应角半角差和的正切

比值，即（a-b）/(a+b)=tan[(A-B)/2]/tan[(A+B)/2]=tan[(A-B)/2]/cot(C/2)

5、三角形中的恒等式：

对于任意非直角三角形中,如三角形ABC,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

证明:

已知(A+B)=(π-C)

所以tan(A+B)=tan(π-C)

则(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)

整理可得

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

类似地,我们同样也可以求证:当α+β+γ=nπ(n∈Z)时，总有

tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ

三角函数图像

三角函数图像：

定义域和值域

sin(x),cos(x)的定义域为R,值域为〔-1,1〕

tan(x)的定义域为x不等于π/2+kπ,值域为R

cot(x)的定义域为x不等于kπ,值域为R

初等三角函数导数

y=sinx---y'=cosx

y=cosx---y'=-sinx

y=tanx---y'=1/cos^2x=sec^2x

y=cotx---y'=-1/sin^2x=-csc^2x

y=secx---y'=secxtanx

y=cscx---y'=-cscxcotx

y=arcsinx---y'=1/√(1-x^2)

y=arccosx---y'=-1/√(1-x^2)

y=arctanx---y'=1/(1+x^2)

y=arccotx---y'=-1/(1+x^2)

倍半角规律

如果角a的余弦值为1/2，那么a/2的余弦值为√3/2

反三角函数

三角函数的反函数，是多值函数。它们是反正弦Arcsinx，反余弦Arccosx，反正切

Arctanx，反余切Arccotx等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。

为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，将y为反正弦函

数的主值，记为y=arcsinx；相应地，反余弦函数y=arccosx的主值限在0≤y≤π；反正切

函数y=arctanx的主值限在-π/2

反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要

求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由欧拉提出，并且首先使用了arc+

函数名的形式表示反三角函数，而不是f-1(x).

反三角函数主要是三个：

y=arcsin(x)，定义域[-1,1]，值域[-π/2,π/2]，图象用红色线条；

y=arccos(x)，定义域[-1,1]，值域[0,π]，图象用兰色线条；

y=arctan(x)，定义域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)，图象用绿色线条；

sinarcsin(x)=x,定义域[-1,1],值域【-π/2,π/2】

证明方法如下：设arcsin(x)=y,则sin(y)=x,将这两个式子代如上式即可得

为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，将y为反正弦函

数的主值，记为y=arcsinx；相应地，反余弦函数y=arccosx的主值限在0≤y≤π；反正切

函数y=arctanx的主值限在-π/2

反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要

求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由欧拉提出，并且首先使用了arc+

函数名的形式表示反三角函数，而不是f-1(x).

（1）正弦函数y=sinx在[-π/2,π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。arcsinx表示一个

正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2,π/2]区间内。

（2）余弦函数y=cosx在[0,π]上的反函数，叫做反余弦函数。arccosx表示一个余弦

值为x的角，该角的范围在[0,π]区间内。

（3）正切函数y=tanx在(-π/2,π/2)上的反函数，叫做反正切函数。arctanx表示一个

正切值为x的角，该角的范围在(-π/2,π/2)区间内。

反三角函数主要是三个：

y＝arcsin(x)，定义域[-1,1]，值域[-π/2,π/2]图象用红色线条；

y=arccos(x)，定义域[-1,1]，值域[0,π]，图象用蓝色线条；

y=arctan(x)，定义域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)，图象用绿色线条；

sin(arcsinx)=x,定义域[-1,1],值域[-1,1]arcsin(-x)=-arcsinx

证明方法如下：设arcsin(x)=y,则sin(y)=x,将这两个式子代入上式即可得

其他几个用类似方法可得

cos(arccosx)=x,arccos(-x)=π-arccosx

tan(arctanx)=x,arctan(-x)=-arctanx

反三角函数其他公式

arcsin(-x)=-arcsinx

arccos(-x)=π－arccosx

arctan(-x)=-arctanx

arccot(-x)=π－arccotx

arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx

sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)

当x∈[—π/2，π/2]时，有arcsin(sinx)=x

当x∈[0,π],arccos(cosx)=x

x∈(—π/2，π/2),arctan(tanx)=x

x∈(0，π),arccot(cotx)=x

x〉0,arctanx=π/2-arctan1/x,arccotx类似

若(arctanx+arctany)∈(—π/2，π/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)

同角三角函数关系式

平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1cos^2(a)=(1+cos2a)/2

tan^2(α)+1=sec^2(α)sin^2(a)=(1-cos2a)/2cot^2(α)+1=csc^2(α)

·积的关系：sinα=tanα×cosαcosα=cotα×sinαtanα=sinα×secα

cotα=cosα×cscαsecα=tanα×cscαcscα=secα×cotα

·倒数关系：tanα·cotα＝1sinα·cscα＝1cosα·secα＝1

·商的关系：sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secα